これを読むだけで応用問題も瞬殺できる積分改革【体積編】

今回は

以前投稿した

これを読むだけで

応用問題も瞬殺できる

積分改革

の続編である

体積編です！

数学Ⅲの積分では

回転体の体積

というものを求めます。

関数f(x)をx軸やy軸を中心に回転させ

それが作る体積

について考えます。

結論から言うと

x軸回転の場合

∫ π f(x)^2 dx

で表されます！

しかし前回言ったように

∫ π f(x)^2 dx

という見方ではいけません。

∫ π f(x)^2 dx

というように見れるようになりましょう！

それでは具体的な

御説明をしていきます！

 例えばこんなグラフを

x軸周りに回転させたとき

このような図形になります。

 この図から

「回転体の体積は円柱の集まり」

であることが分かります。

つまり

この円柱の体積の

合計を求めればいい

ということです！

面積編では

面積は長方形の集まり

であるといいましたが

この長方形を1回転させると

円柱ができますね！

このため面積についてしっかり理解していれば

簡単にイメージできると思います。

それでは次に

1つの円柱に注目してみましょう。

とある地点xにおける円柱の体積は？

 ここで

v=π f(x)^2 dx

という式に見覚えはありませんか？

そう！さっきの

∫ π f(x)^2 dx

の赤の部分ですね！！

つまりこの赤の部分は

微小区間に分けた時の

円柱の体積

を表しています！

∫ はこの円柱の体積を

集めてくれる記号

というイメージです！

あとは ∫ の後に

積分範囲をくっつければOK!

積分範囲に関しては

円柱を集めるところは

xの範囲がどこからどこまでか

というイメージです！

大切なのでもう一度言いますが

”回転体の体積は円柱の集まり”

です。

この考え方ができるようになれば

どんな複雑な体積を求める問題でも

回転軸がy=xなどの応用問題も瞬殺

周りと劇的な差を生むことができます！

常にこのイメージを持ちながら

積分を勉強してみて下さい！

御精読ありがとうございました。