もう回転軸がx軸やy軸じゃなくても怖くなくなる積分改革【実践編】

今までの投稿で

積分を制するための

面積や回転体の体積

についてのイメージ改革

を行ってきました。

今まで

∫とdxがセットであると思っていた

人達ももう違うと思います！

面積は長方形の集まり

回転体の体積は円柱の集まり

でしたね！

今回はそのイメージになると

応用問題もスラスラ理解できる

ことを体感してもらいたいと思います！

それでは早速問題です！

曲線y=1/x(x>0)をCとする。

直線y=x上の点Pにおいて

直線y=xに直交する直線lを考える。

この直線lと曲線Cは2点A,Bで交わっている

とする。

曲線Cと直線x+y=4で囲まれた部分を

直線y=xの周りに1回転してできる

回転体の体積Vを求めよ。

おっと…

回転軸がx軸やy軸ではない

y=xという関数になっています。

つまり

"公式が使えない"

状況に陥っています。

私も初めてこの問題を見たとき

正直ビビりました。

何から手をつけていいか分からない。

難しすぎるだろこれ…

しかし

今まで上げた2つの投稿

積分改革を見てきた方なら

瞬殺できます！

まずはグラフを考えてみましょう！

こんな感じのグラフになりそうですね！

この図の

斜線部分を回転させた体積を

求めなければなりません。

ここから本格的に

回転体の体積は円柱の集まり

というイメージを使っていきます！

どのような円柱を集めるのか

考えてみましょう！

図からこのような円柱を集める

ことが分かります。

体積を求めるために必要なものは

○円柱の半径

○積分範囲

の2つです。

それでは

円柱の半径について考えていきます！

この図から

半径に相当するAPを求めたいですね！

ここで1つかなり重要なことがあります。

それは

新たなt軸をとる

ということです。

たとえ半径が分かっても

x軸やy軸を中心に考えてしまうと

円柱の体積を求めることが

困難になってきます。

ですから

t軸という新たな軸を設定し

今後出てくるxやyをtの式で表しましょう！

OP=tとすると

P(t/√2,t/√2)

と求めることができます。

この時l:x+y=√2tだから

C:xy=1と連立してyを消去すると

x(√2t-x)=1

x^2-√2tx+1=0より

x={√2±√(2t^2-4)}/2

したがって

AP=√(t^2-2)

と導くことができます！

これから円柱の体積を求めましょう！

半径が求まれば

円柱の体積は容易に求めることができますね！

それでは最後に

積分範囲について求めていきます！

これは非常に簡単です。

上図から積分範囲は

tが√2から2√2までである

ことが分かります！

これで必要な

2つの道具をゲットしました！

あとはこれらを使って

立式するだけです！

これを解けば終了です！

ちなみに答えは8/3√2π

どうでしたか？

意外にすんなりいけませんでしたか？

積分について理解が浅い人

単に公式に当てはまるだけの人

であればこの問題を解くことは

かなり厳しいです。

しかし逆に

今までしつこく言ってきた

積分のイメージを持てば

どんな応用問題でも

簡単に理解することができます！

この先難しい問題に出会ったとしても

積分の本質に立ち戻れば

きっと大丈夫です。

今回の問題はかなり良問なので

是非一度解いてみてください！

以上で積分改革終了です！

御精読ありがとうございました。